PROGRAMMEZ n°13

, via Wikimedia Commons 008_012.qxp_HS13 04/12/2023 12:37 Page8 l’esprit dite du chat de Schrödinger pour rendre plus concret ce fonctionnement éminemment contre-intuitif. Un mot avant cela à propos de la manière de représenter un état quantique, en informatique quantique : on parle de bit quantique, ou qubit ou qu-bit. Le bit quantique représente l’unité de base en informatique quantique à l’instar du bit en informatique dite classique. L’expérience du chat de Schrödinger L’expérience consiste à enfermer le chat Couscous (aka Cacahuète, aka Titus) dans une boîte opaque, et la refermer. Dans cette boîte se trouve un dispositif létal qui peut tuer le chat Couscous à n’importe quel moment. Figure 1 De l’extérieur, nous n’avons aucun moyen de savoir si le chat Couscous est vivant ou mort. En réalité, d’un point de vue quantique, il est à la fois mort et vivant, les deux états superposés (mort et vivant) étant équiprobables. L’état quantique de Couscous est donc une superposition de deux états : l’état mort et l’état vivant. Seule manière de savoir réellement ce qu’il en est : ouvrir la boîte, et ce faisant, procéder à une mesure quantique. L’état mesuré du chat Couscous sera soit mort, soit vivant. On peut tenter de mettre en équation, cet état quantique, grâce à une notation très utilisée en informatique quantique, la notation bra-ket. L’état quantique de Couscous est représenté par cette combinaison linéaire impliquant l’état quantique mort, et l’état quantique vivant, chacun pondéré par une sorte de probabilité d’être la valeur finalement mesurée. Si l’on considère les deux états superposés du chat (vivant et mort) comme étant équiprobables alors l’état quantique du chat s’écrit comme ci-dessous. Note sans importance pour la compréhension : le coefficient multiplicateur devant chaque état dans la précédente équation est égal à la racine carrée de la probabilité associée (ici chaque probabilité est égale à 0.5). En effet : Figure 2 Cette expérience de la pensée permet de mettre en exergue deux notions-clés : la superposition quantique (quand le chat est dans un état superposé, à la fois mort et vivant) et la mesure quantique (quand on ouvre la boîte). La notation bra-ket Imaginons une particule donnée. On s’intéresse particulièrement à sa vitesse. Sa vitesse est une superposition quantique de trois vitesses différentes. On peut écrire l’état quantique associée ainsi : |Ψ〉 Modulo quelques approximations en termes de probabilité, on peut donc considérer que l’état quantique est une superposition de trois vitesses, V1, V2 et V3. La vitesse V1 a 25% de chance d’être mesurée, la vitesse V2 45% et la vitesse V3 30%. Une fois la mesure effectuée, ce ne sera qu’une des trois vitesses qui sera mesurée, et on se retrouvera alors dans le domaine de la mécanique classique. Dans le schéma suivant, le segment vertical représente la mesure : une seule vitesse est consistante post-mesure, ici la vitesse V1, celle d’ailleurs qui était la moins probable. Allons à présent un petit peu plus loin. On considère ici que l’on s’intéresse à un seul qubit. En notation bra-ket, son état quantique s’écrit ainsi : On peut d’ailleurs écrire chacune des deux valeurs mesurables ainsi. Si l’on passe à un schéma à deux qubits, on a quatre valeurs possibles mesurables. Ce sont les valeurs suivantes. On peut en effet écrire l’état quantique à l’aide de l’équation suivante, utilisant les coefficients α, β, γ et δ. Comme précédemment on peut exprimer sous forme d’équations chacune des valeurs finalement mesurables. Si l’on passe à trois qubits on aura huit valeurs possibles. De manière générale, une solution à n qubits verra la possibilité de travailler en 2 exposant n. programmez.com 9 Figure 2 : Le chat Couscous, bien vivant, mais courroucé par cette drôle d’expérience. 008_012.qxp_HS13 04/12/2023 12:37 Page9 On peut ensuite modifier l’état quantique de chaque qubit à l’aide d’un circuit quantique, qui représente ni plus ni moins un algorithme quantique. Ce circuit quantique est composé de portes quantiques et se termine en général par une mesure quantique. L’informatique classique et son algèbre de Boole manipulent des portes logiques. En informatique quantique, on utilise des portes quantiques. Les états quantiques étant finalement des états probabilistes, on soumet en général plusieurs fois les mêmes entrées à un circuit quantique. On analyse ensuite la répartition du résultat des 10000 (par exemple) mesures, une mesure par utilisation du circuit quantique. Le propos qui précède nous a permis d’éclaircir les notions de superposition et de mesure, ainsi que ce qui lie ces deux notions. Il nous reste à aborder la troisième grande notion : l’intrication (ou l’enchevêtrement) quantique. L’intrication quantique L’intrication quantique est un phénomène physique assez étonnant dont l’existence fut longtemps controversée au sein de la communauté scientifique. Il a été depuis démontré expérimentalement bien après sa mise en évidence théorique. L’intrication quantique consiste en un lien entre deux particules, pourtant possiblement très éloignées l’une de l’autre. Deux particules A et B qui sont intriquées ont le même état quantique. Si l’une des deux change d’état, l’état de la seconde particule sera le même. Cela implique enfin que le résultat de la mesure respective de deux particules intriquées est théoriquement le même. Cette notion est fréquemment utilisée en informatique quantique, pour coder ce que l’on appelle la téléportation quantique ou encore pour simuler les états de Bell, qui seront l’objet de notre exemple pratique avec la solution IBM Qiskit. Les états de Bell Un des moyens d’implémenter l’intrication de deux particules, ici entre deux qubits, est de recourir aux états de Bell. Ci-dessous les quatre états de Bell : Ceux-ci permettent de maximiser l’intrication entre les deux qubits. Un circuit quantique bien déterminé et bien connu permet d’implémenter un des quatre états de Bell. Il implique l’utilisation de deux portes quantiques, la porte de Hadamard et la porte C-NOT et se termine par une mesure de chacun des deux qubits. La plate-forme IBM QisKit La plate-forme permet de s’essayer à l’informatique quantique de plusieurs manières. En premier lieu, Qiskit s’installe et s’utilise localement indifféremment sous Linux, Windows ou macOS. L’URL suivante détaille la procédure à suivre pour installer QiSkit sur votre machine. https://qiskit.org/documentation/install.html La plate-forme permet également de travailler entièrement en ligne. C’est la solution que nous utiliserons ici. D’une part est disponible un éditeur graphique de circuits quantiques nommé Circuit Composer (nous en dirons un mot) et d’autre part, il est possible de coder et d’exécuter tous ses programmes quantiques en Python dans des notebooks Jupyter que nous allons également utiliser ici. Une fois défini votre circuit quantique (soit avec Circuit Composer soit au sein d’un notebook Jupyter) on peut exécuter le programme. IBM Qiskit permet de soumettre le programme à deux types de solveurs quantiques. • des simulateurs de machines quantiques conçus avec un ordinateur classique qui sont supposés donner un résultat exact d’un point de vue quantique. • de vraies machines quantiques. L’exécution se retrouve alors dans une file d’attente Note : les notebooks Jupyter permettent la programmation interactive faisant alterner du code Python et le résultat de son exécution. L’extension d’un fichier de notebook Jupyter est .ipynb. Un tel fichier peut facilement être partagé, y compris sur des sites de gestion de version, comme Github, qui savent afficher un fichier .ipynb. Pour utiliser Qiskit en ligne, commencez par vous créer un compte IBM en ligne à l’URL suivante. https://quantum-computing.ibm.com/ Une fois votre compte créé, vous accédez à votre espace, muni d’une barre latérale à gauche de l’écran qui vous permet de naviguer parmi les différents outils mis à disposition. Ci-contre une copie d’écran de la barre latérale incluant les liens suivants. • Dashboard qui fait office de page d’accueil. • Results qui permet de consulter les exécutions passées et leurs résultats. • Circuit Composer, qui permet de réaliser un circuit quantique de manière graphique. • Qiskit Notebooks, qui permet de travailler avec des notebooks Jupyter. Figure 3 Le Circuit Composer de Qiskit Cet outil permet de composer un circuit quantique en faisant glisser les différentes portes quantiques de notre programme. Ainsi en quelques clics on réalise le schéma suivant en faisant glisser une porte de Hadamard (H), une porte C-NOT ainsi que deux portes de mesure. Figure 4 Au-dessus du schéma ainsi composé se trouve un bouton Run dans lequel on peut sélectionner un solveur ainsi que le nombre d’utilisations du circuit quantique. Nous choisissons donc de lancer 1024 essais à l’aide d’un des simulateurs quantiques mis à disposition. Après quelques secondes on obtient un résultat graphique qu’il s’agit d’interpréter. Figure 5 10 programmez.com Figure 3 008_012.qxp_HS13 04/12/2023 12:37 Page10 On voit qu’on obtient 49,121 % des essais (503 essais) qui donnent le résultat suivant dans lequel les deux qubits de sortie sont identiques (à zéro) : On obtient également 50,879 % des essais (521 essais) qui donnent le résultat suivant dans lequel les deux qubits de sortie sont identiques (à un) : Nous n’obtenons jamais, comme prévu, les deux situations suivantes : Les notebooks Jupyter dans Qiskit Passons à présent à l’utilisation de Jupyter. Nous allons reproduire le même exemple, mais cette fois avec du code Python. Nous lancerons une simulation similaire à celle qui précède puis nous exposerons notre programme quantique sur une vraie machine quantique située à Melbourne. Commençons à créer un nouveau notebook Jupyter en cliquant sur le bouton New Notebook. On commence ensuite à coder une première section du notebook que nous détaillons tout de suite. On ajoute la clause %matplotlib inline nécessaire dès l’instant que l’on travaille avec des notebooks Jupyter. %matplotlib inline Puis on déclare les différents modules dont on aura besoin, à commencer évidemment par le module qiskit. On importe également numpy et plot_histogram pour pouvoir ensuite générer un résultat graphique. importqiskit fromqiskitimport( IBMQ, ClassicalRegister, QuantumCircuit, QuantumRegister, QuantumCircuit, execute, Aer) importnumpyasnp fromqiskit.visualizationimportplot_histogram Puis on définit notre circuit quantique à l’aide de la fonction QuantumCircuit dont la documentation est à cette URL. https://qiskit.org/documentation/api/qiskit.circuit.QuantumCircuit.html On a besoin de deux bits quantiques en entrée et de deux bits classiques de sortie. circuit=QuantumCircuit(2,2) Puis on adjoint une porte de Hadamard sur le premier bit quantique. circuit.h(0) On ajoute ensuite notre porte quantique C-NOT entre le premier et le deuxième bit quantique. circuit.cx(0,1) Puis on ajoute les deux unités de mesure quantique. circuit.measure([0,1],[0,1]) Pour l’instant nous avons seulement défini un circuit quantique que nous allons dessiner à l’écran avant de l’exécuter. circuit.draw() print(circuit) circuit.draw(output=’mpl’,filename=’circuit.png’) La copie d’écran de la première section de notre notebook. Figure 6 Quand on l’exécute, on obtient deux représentations de notre circuit quantique. Figure 7 Nous allons à présent exécuter ce programme quantique. La seconde section du notebook concerne l’exécution du programme sur un simulateur quantique, puis la troisième section concerne l’exécution sur une réelle machine quantique. programmez.com 11 Figure 4 Figure 5 008_012.qxp_HS13 04/12/2023 12:37 Page11 PROGRAMMEZ n°13 - Page 4 PROGRAMMEZ n°13 - Page 5 viapresse